Rozmaitość - puzzle online

Rozmaitość

Rozmaitość n-wymiarowa – zbiór punktów, wyposażony w geometrię, która ma lokalnie własności geometrii znanej z przestrzeni rzeczywistej

n

n

-wymiarowej (przestrzeni euklidesowej). Wyposażenie w geometrię jest kluczowe – oznacza bowiem, że podane zostały wzory na obliczanie odległości między punktami, kątów między prostymi, pól powierzchni itp., przy czym lokalnie odległości między punktami są dane wzorami takimi jak w przestrzeni euklidesowej itd. Rozmaitość jest więc lokalnie identyczna z przestrzenią euklidesową. Lokalność zdefiniowana precyzyjnie oznacza, że każdy punkt rozmaitości ma otoczenie, nawet niewielkiego rozmiaru, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową

R

n

\mathbb {R} ^{n}

. Gdy rozmaitość przestaje być „płaska” – dla punktów rozmaitości bardziej od siebie odległych – to odległości są obliczane wzorami ogólniejszymi.

Wyróżnia się rozmaitości:

jednowymiarowe: okręgi, elipsy, parabole i inne krzywe, przy czym nie należą do nich np. lemniskaty, jak lemniskata Bernoulliego (bo mają punkty przecięcia, które nie są lokalnie homeomorficzne z jednowymiarową przestrzenią euklidesową)

dwuwymiarowe: płaszczyzna, sfera, torus i inne powierzchnie; wszystkie te powierzchnie mogą być zanurzone w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej bez spowodowania przecinania się powierzchni samej ze sobą; także butelka Kleina oraz płaszczyzna rzutowa rzeczywista, które będą przecinać się ze sobą, gdy zanurzy się je w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej

wielowymiarowe, np. hiperpowierzchnie w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli przestrzenie o wymiarze n-1).Rozmaitości przypominają przestrzeń euklidesową w otoczeniu każdego punktu (lokalnie), ale ich globalna struktura może być bardziej skomplikowana. Przykładowo otoczenie dowolnego punktu sfery jest homeomorficzne z płaszczyzną, gdyż można je przekształcić na płaską mapę (co realizuje się np. wykonując mapy geograficzne). Jednakże sfera różni się od płaszczyzny w „wielkiej skali”. Dlatego do odwzorowania sfery na płaszczyznę potrzeba większej liczby map. Mapy te tworzą atlas, analogicznie do atlasu zawierającego mapy geograficzne Ziemi. W ogólnym przypadku rozmaitości lokalnie mają własności przestrzeni euklidesowych wymiaru n (n = 1, 2, 3, 4 itd.), dlatego ich odwzorowanie na przestrzeń euklidesową wymaga map n-wymiarowych.

Koncepcja rozmaitości jest kluczowa w wielu gałęziach geometrii i nowoczesnej fizyki matematycznej, ponieważ umożliwia opisanie i rozumienie skomplikowanych struktur za pomocą dobrze poznanych właściwości przestrzeni euklidesowych. Rozmaitości pojawiają się w sposób naturalny jako rozwiązania układów równań oraz jako wykresy funkcji.

Rozmaitości mogą posiadać dodatkowe własności:

Rozmaitości różniczkowe – rozmaitości posiadające lokalne układy współrzędnych, zadane za pomocą funkcji

n

n

-krotnie różniczkowalnych (gdzie

n

=

1

,

2

,

…

{\displaystyle n=1,2,\dots }

), co umożliwia np. wykonywanie na nich różnego rodzaju różniczkowań i całkowań.

Rozmaitości riemannowskie – rozmaitości różniczkowe uzupełnione o metrykę Riemanna, co pozwala mierzyć na nich odległości i kąty.

Rozmaitości symplektyczne – służą jako przestrzenie fazowe mechaniki klasycznej wyrażonej w formalizmie Hamiltona.

Czterowymiarowe rozmaitości lorentzowskie – są modelami czasoprzestrzeni w ogólnej teorii grawitacji.